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第1章 上一章注释001（第1页）

【写在8月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了?，我调整一下，过会儿再看】硬核程度：☆☆☆☆☆涉及领域：计算理论大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。以下开始：首先，什么是可计算？可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算机后，计算机可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。为了方便描述，先行约定一下数学符号。假设我们有一个乘法器，叫做ult，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。比如，输入（3，4）输出12输入（6，2）输出12输入（0，6）输出0这时，我们把这些输入数对叫做doa，输出的一个数叫做doa。如果我们用z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：ult:z2→z中间的这个→表示这个ult是一个totalfunction，也许可以称作“全函数”吧，意思是每一个doa里的输入，都能对应一个doa里的输出。与全函数相对应的是，是“偏函数”。对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。比如一个除法器，当我们给它（6，0）时，它输出不了任何东西。这个除法器可以表示为：div:z2—z这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。后继函数：su:n→n，su（x）=x+1，n代表自然数集。我们给它2，它输出3；给它3它输出4。总之就是往上+1零函数：zero:nn→n，zero=0。不管给它什么，它都输出0投影函数：projn:nn→n，proj（x1，，xn）=xi。它接受长度为n的输入，输出第i个自然数。比如，proj22（1，3）=3。好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。我们定义一个叫“组合”的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：f:nn—n具体的，如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数（x1，，x），那么组合n个g函数的操作可以被表示为：f·[g1，，gn]:n—n展开为：f·[g1，，gn]（x1，，x）=f（g1（x1，，x），，gn（x1，，x））举个栗子：我们构造一个函数one，one（x）=1，即：不论给它什么输入，它都输出为1，那么：one（x）=su（0）=su（zero（x））即：su·[zero]=one验证一下：su·[zero]（x）=su（zero（x））=su（0）=1su和zero两个基本函数组成了我们要的one，完美。如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器add，add（x，y）=x+y，怎么用那三种基本函数组合？也很简单，从具体输入入手：add（3，2）=su（add（3，1））=su（su（add（3，0）））=su（su（3））似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add（3，0）=3所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：add（x，y+1）=su（add（x，y）），这个式子是十分严谨的。更具体地，要想算出add（x，y+1），就要知道add（x，0）=x，我们称add（x，0）=x为基准条件；add（x，y+1）=su（add（x，y））为递归条件。看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出add（x，0）=x，就能得到add（x，y+1），也就能构造出我们想要的加法器。也很显然，add（x，0）=x=proj11于是，我们的加法器有了。这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：，！基准函数f:nn—n递归函数g:nn+2—n使用f和g的原始递归h=pn（f，g）:nn+1—n对于h:基准条件：h（x1，xn，0）=f（x1，，xn）递归条件:h（x1，，xn，y+1）=g（x1，，xn，y，h（x1，，xn，y））回到我们的加法器add：add:n2→nadd（x，y）=x+y=p1（f，g）基准条件：add（x，0）=f（x）=proj11递归条件：add（x，y+1）=g（x，y，add（x，y））=su（add（x，y）），g=su·[proj33]add=p1（proj11，su·[proj33]）完美无瑕。类似地，乘法器ult=p1（zero，add·[proj13，proj33]）前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，su三种原始函数和组合·，原始递归p这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。那么“偏函数”呢？构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。如果我们有一个函数f:nn+1—n（这里代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了），具体的f（a1，an，x），其中a1，an是固定参数，x是可变参数。那么最小化操作为：μnf:nn—n它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出比如f（5，4，3，2，1，0）=0如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。比如f（5，4，3，2，1，1）=1假设我们有一个投影函数长这样：proj21:n2—n（proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了）那么μ1proj21:n—n举个栗子：假如我们给proj21弄一个最小化操作：μ1proj21（1），其中1是固定参数。如果我们穷举一下可变参数，就会发现：proj21（1，0）=1proj21（1，1）=1我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。也就是说，对于μ1proj21而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最小化操作，我们成功地构建了一个偏函数。加减乘三种操作都在上文构建过了，现在就只剩下一个除了。除法div需要用最小化操作来构建。假设，我们收到两参数a和b，想求ab，那么其中存在如下关系：a=qxb+r，其中0≤r＜b我们想要的就是满足式子qxb≤a的最大的q，这等同于满足（q+1）xb＞a，于是带余除法被转化为了一个最小化问题：找到最小的q使其满足（q+1）xb＞a也就是构造一个函数f:n3—nf（a，b，q）=1如果（q+1）b≤a，=0如果（q+1）b＞af（a，b，q）=lessthaneal（ult（su（q），b），a）f=lessthaneual·[ult·[su·[proj33]，proj32]，proj31]其中lessthaneal=iszero·subiszero=sub·[su·zero，proj11]sub是减法器对f进行最小化操作即可得到我们想要的结果。验证一下：f（8，5，0）=lessthaneal（ult（1，5），8）=1不等于0，所以0不是输出。f（8，5，1）=lessthaneal（ult（1，5），8）=0，最小，所以1是输出。div（8，5）=85=1没错，十分完美。如果我们想计算一下80:f（8，0，0）=lessthaneal（ult（1，0），8）=1不等于0，所以0不是输出。f（8，0，1）=lessthaneal（ult（2，0），8）=1不等于0，所以0不是输出。无论我们给f（8，0，x）传入什么x，都找不到最小的x，所以div（8，0）=80无解，符合现实。如果把最小化操作运用在原始递归函数上，得到的新函数就叫做偏递归函数。好了，现在加减乘除我们都有了，只要是可计算的算法，我们都能执行。至于无限循环怎么制造出来，从μ1proj21（1）和div的栗子都可以看出来，如果最小化操作找不到最小值，就永远不会给出输出，这相当于while语句的功能。——————————————————下一章是正常内容：（）四进制造物主